Menentukan Luas Daerah Kurva Menggunakan Integral

Carilah luas yang diarsir dari gambar dibawah ini. Persamaan garisnya adalah $y^2 = x + 1$

dan $x - y = 1$

Jawaban :

Agar lebih mudah, lebih baik kita menghitung luas kurva terhadap sumbu y. Sesuaikan persamaan kurva sehingga menjadi $x = y^2 -1$ dan $x = y + 1$ , lalu cari titik potong nya.

$\begin{align*} y^2 - 1 &= y + 1 \\ y^2 - y - 1 - 1 &= 0 \\ y^2 - y -2 &= 0 \\ (y-2)(y+1) &= 0 \\ \end{align*}$

$\begin{align*} y_1 &= 2 \\ x_1 &= 2 + 1 \\ &= 3 \\ y_2 &= -1 \\ x_2 &= -1 + 1 \\ &= 0 \end{align*}$

Lakukan Integral dari kurva kanan dikurang kurva kiri. Gunakan batas integral dari -1 sampai 2.

$\begin{align*} \text{Luas Kurva} &= \int_{-1}^2 y+1 - (y^2 - 1) \: \mathrm{d}y \\ &= \int_{-1}^2 y+1 - y^2 + 1 \: \mathrm{d}y \\ &= \int_{-1}^2 2 + y- y^2 \: \mathrm{d}y \\ &= \left[ 2y + \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^3 \right]_{-1}^2 \\ &= 2(2) + \frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{3}(2)^3 - \left[2(-1) + \frac{1}{2}(-1)^2 - \frac{1}{3}(-1)^3 \right] \\ &= 4 + 2 - \frac{8}{3} - \left[-2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right] \\ &= 6 - \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\ &= 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} \\ &= 8 - 3 - \frac{1}{2} \\ &= 5 - \frac{1}{2} \\ &= 4\frac{1}{2} \end{align*}$

Leave a Reply Cancel reply